数论：已知（a,b）=1,找出(a+2b,2a+b)所有可能的值,请附证明.

题目

数论：已知（a,b）=1,找出(a+2b,2a+b)所有可能的值,请附证明.

答案

令k=(a+2b,2a+b)
k能为1是显然的
若k>1
那么有 2a+b = 2(a+2b)-3b
则k必整除右边,即k整除3b
而k必与b互素,则k必整除3,所以只能k=3
所以取值是{1,3}
详见参考资料