已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R). (1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程; (2)若函数f(x)为R上的单调递增函数,试求a的范围; (3)若函数f(x)不出现在直线y=x+1的下

已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R). (1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程; (2)若函数f(x)为R上的单调递增函数,试求a的范围; (3)若函数f(x)不出现在直线y=x+1的下

题目
已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R).
(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程;
(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数,试求a的范围;
(3)若函数f(x)不出现在直线y=x+1的下方,试求a的最大值.
答案
(1)函数f(x)=ex-ax2.则导数f′(x)=ex-2ax,
∴f′(0)=1,
∴函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程是y=x+1;
(2)函数f(x)为R上的单调递增函数即
导数f′(x)=ex-2ax≥0恒成立,
画出曲线y=ex和直线y=2ax,即要求曲线恒在直线的上方.
设直线与曲线相切时的切点为(m,n),则n=2am,n=em,em=2a,
解得m=1,n=e,a=
e
2

由图象观察得a的范围是[0,
e
2
];
(3)由题意可知,f(x)≥x+1恒成立,记F(x)=ex-ax2-x-1,
即F(x)≥0恒成立,
若a>0,则x<-
1
a
<0,F(x)<1-x(ax+1)-1<0,与F(x)≥0矛盾,
∴a≤0,F′(x)=ex-2ax-1,
则x>0时,F′(x)>e0-1=0,x<0时,F′(x)<e0-1=0,
∴x=0为F(x)的最小值点,即最小值为0,即F(x)≥0恒成立,
故函数f(x)不出现在直线y=x+1的下方,a的最大值为0.
(1)求出导数,切线的斜率,由点斜式方程即可;
(2)即导数f′(x)=ex-2ax≥0恒成立,画出曲线y=ex和直线y=2ax,即要求曲线恒在直线的上方,求出相切的情况,通过直线的旋转即可;
(3)由题意可知,f(x)≥x+1恒成立,记F(x)=ex-ax2-x-1,即F(x)≥0恒成立,讨论a>0不成立,运用导数求出F(x)的最小值即可.

利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.

本题考查导数的综合应用:求切线方程、求单调区间和极值、最值,考查数形结合的思想方法,不等式恒成立思想转化为求最值问题,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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