十万火急!两道高等代数题

题目

十万火急!两道高等代数题
1.A,B为4级方阵,A与B相似,B的特征值为1,2,3,4.求A^-1+E的行列式.
2.设n阶矩阵A有n个互异的特征根,且AB=BA,证明B可对角化.

答案

1) 因A与B相似,故A和B有完全相同特征值.A^-1+E特征值为1+1,1/2+1,1/3+1,1/4+1,A^-1+E的行列式就是这四个数的乘积(1+1)(1/2+1)(1/3+1)(1/4+1).
2）因A的特征值互异,所以A可对角化,存在可逆P,使得P^-1AP=D是对角阵,且对角元两两互异.由AB=BA,得P^-1APP^-1BP=P^-1BPP^-1AP.记S=P^-1BP,得DS=SD.由于D是对角阵,且对角元两两互异,比较即得S非对角元全为0,即P^-1BP是对角阵.命题得证.