二次函数y=a（a+1）x2-（2a+1）x+1，当a=1，2，3，…，n，…时，其图象在x轴上截得的弦长依次为d1，d2，…，dn，…，则d1+d2+…+dn为（　　） A.1n(n+1) B.nn

题目

二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，当a=1，2，3，…，n，…时，其图象在x轴上截得的弦长依次为d₁，d₂，…，d_n，…，则d₁+d₂+…+d_n为（　　）
A.

1

n(n+1)

B.

n

n(n+1)

C.

1

n+1

D.

n

n+1

答案

当a=n时，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，
∴x1+x2＝

2n+1

n(n+1)

，x₁x₂=

1

n(n+1)

∵|x₁-x₂|=

(x1+x2)2−4x1x2

=

1

n(n+1)

=

1

n

−

1

n+1

∴d₁+d₂+…+d_n=1−

1

2

+

1

2

−

1

3

+…+

1

n

−

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

故选D

当a=n时，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，由|x1-x2|=

(x1+x2)2−4x1x2

，结合方程的根与系数关系可求d_n，然后利用裂项求和方法即可求解

本题考点：二次函数的性质；数列的求和．

考点点评：本题考查函数的二次函数的性质的运算，裂项求和公式的合理运用是求解的关键