如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中点,过A、N、D三点的平面交PC于M. (1)求证:DP∥平面ANC
题目
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中点,过A、N、D三点的平面交PC于M.
(1)求证:DP∥平面ANC;
(2)求证:M是PC中点;
(3)求证:平面PBC⊥平面ADMN.
答案
证明:(1)连接BD,AC,设BD∩AC=O,连接NO…(1分)
∵ABCD是的菱形∴O是BD中点,又N是PB中点
∴PD∥NO…(3分)
又NO⊂平面ANC,PD⊄平面ANC…(4分)
∴PD∥平面ANC…(5分)
(2)依题意有AD∥BC∴BC∥平面ADMN…(6分)
而平面PBC∩平面ADMN=MN…(7分)
∴BC∥MN…(9分)
又N是PB中点∴M是PC中点
(3)取AD中点E,连接PE,BE,BD,
∵ABCD为边长为2的菱形,且∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形,又E为AD的中点
∴BE⊥AD…(12分)
又∵PE⊥AD
∴AD⊥面PBE
∴AD⊥PB …(13分)
又∵PA=AB,N为PB的中点
∴AN⊥PB…(14分)
∴PB⊥平面ADMN而PB⊂平面PBC…(15分)
∴平面PBC⊥平面ADMN…(16分)
(1)接BD,AC,设BD∩AC=O,连接NO,根据菱形的性质及三角形中位线定理,可得PD∥NO,结合线面平行的判定定理即可得到DP∥平面ANC;
(2)由已知易得AD∥BC,则BC∥平面ADMN,由线面平行的性质定理得BC∥MN,根据平行线等分线段定理,即可得到M是PC中点;
(3)取AD中点E,连接PE,BE,BD,由已知中底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E为AD的中点,可得BE⊥AD,结合PE⊥AD和线面垂直的判定定理得AD⊥面PBE,由线面垂直的性质可得AD⊥PB,又由等腰三角形PAB中,N为PB的中点,得AN⊥PB,由线面垂直的判定定理得:PB⊥平面ADMN,最后由面面垂直的判定定理得到平面PBC⊥平面ADMN.
平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
本题考查的知识是直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质,(1)的关键是得到PD∥NO,(2)的关键是得到BC∥MN,(3)的关键是线线、线面、面面垂直之间的转化.
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