在三角形ABC中,a,b,c分别是叫A,B,C的对边,已知3（b^2+c^2）=3a^2+2bc

题目

在三角形ABC中,a,b,c分别是叫A,B,C的对边,已知3（b^2+c^2）=3a^2+2bc
(1)若sinB=根号2cosC,求tanc的大小 （2）若a=2三角形ABC的面积S=根号2/2,且b>C,求b,c

答案

∵ 3(b²+c²)=3a²+2bc
∴3(b²+c²-a²)=2bc
∴ (b²+c²-a²)/2bc=1/3=cosA
∵(cosA)²+(sinA)²=1
∴(sinA)²=1-1/9=8/9
∴sinA=2√2/3
（1）sinB=√2cosC
∴ sin(A+C)=√2cosC
∴ sinAcosC+cosAsinC=√2cosC
∴ (2√2/3)cosC+(1/3)sinC=√2cosC
∴ (1/3)sinC=(√2/3)cosC
∴ tanC=sinC/cosC=√2
（2）S=(1/2)bcsinA=√2/2
∴ bc*(2√2/3)=√2
∴ bc=3/2 ①
由余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
∴ 4=b²+c²-2*(3/2)*(1/3)
∴ b²+c²=5 ②
∴ (b+c)²=b²+c²+2bc=8
(b-c)²=b²+c²-2bc=2
∴ b+c=2√2,b-c=√2 （∵b>c）
∴ b=2√2/3,c=√2/2