f(x)在〔0,1〕上连续.f(0)＝f(1)证明存在x使f(x)＝f(x＋0.5)

题目

f(x)在〔0,1〕上连续.f(0)＝f(1)证明存在x使f(x)＝f(x＋0.5)

答案

构造函数g(x)=f(x+0.5)-f(x),0≤x≤0.5
则g(0)=f(0.5)-f(0)
g(0.5)=f(1)-f(0.5)
∵f(1)=f(0)
∴g(0)=-g(0.5)
若f(x)是常数函数,结论显然成立；
否则,g(0),g(0.5)中必有一个正数一个负数,
由连续函数介值定理知存在一个数0≤x≤0.5,
使得g(x)=0
故存在x,使得f(x)＝f(x＋0.5)