数学归纳法怎么用?

题目

数学归纳法怎么用?

答案

（一）第一数学归纳法：
一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n）,有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立.n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥n0,k为自然数）时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,命题P(n）都成立.
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数有关的命题P(n）,
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立,并在此基础上,推出P(k+1）成立.
综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,命题P(n）都成立.
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数,如对于算术几何不等式的证明,可以是2^k,k≥1）；
（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立,并在此基础上,推出P(k）成立,
综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,命题P(n）都成立；
（四）螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题P(n）,Q(n）,
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设P(k）（k>n0）成立,能推出Q(k）成立,假设 Q(k）成立,能推出 P(k+1）成立；
综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,P(n）,Q(n）都成立.
 

 
解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格,数学归纳法解题过程中,
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立,然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导,在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去.
最后一步总结表述.
需要强调是数学归纳法的两步都很重要,缺一不可,否则可能得到下面的荒谬证明：
应用
（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式.（3）证明数列前n项和与通项公式的成立.（4）证明和自然数有关的不等式.