求方程2x2-7xy+3y3=0的正整数解．

题目

求方程2x²-7xy+3y³=0的正整数解．

答案

∵方程2x²-7xy+3y³=0有正整数解，
∴△=49y²-24y³=y²（49-24y）≥0，且y＞0，
解得，0＜y≤

49

24

；
∴y=1或y=2；
①当y=1时，原方程化为
2x²-7x+3=0，即（2x-1）（x-3）=0，
解得，x=

1

2

（舍去），或x=3；
∴原方程的解是：

x1＝3 y1＝1

；
②当y=2时，原方程化为
2x²-14x+24=0，即（x-3）（x-4）=0，
解得，x=3或x=4；
∴原方程的解是：

x2＝3 y2＝2

；

x3＝4 y3＝2

．

将原方程看作是关于x的一元二次方程，则△≥0，据此可以求得y的取值范围，从而求得y的正整数解；然后根据y的正整数解来求x的整数解．

本题考点：高次方程．

考点点评：本题考查了高次方程的解法．通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．