设二次型f(x1,x2,x3）=xˇTAx的秩为1.A的各行元素之和为3,则f在正交变换下x=Qy的变准型为?

题目

设二次型f(x1,x2,x3）=xˇTAx的秩为1.A的各行元素之和为3,则f在正交变换下x=Qy的变准型为?
我知道,其中一个特征值为3,但怎么确定其它的特征值?和秩有关么?

答案

与A的秩有关!
因为 r(A)=1
所以 Ax=0 的基础解系含 3-1 = 2 个向量
即 A 的属于特征值0的线性无关的特征向量有2个
所以 A 的特征值是 3,0,0