1.证明方程x^4+4x+k=0至多只有两个相异实根

题目

1.证明方程x^4+4x+k=0至多只有两个相异实根
2.证明恒等式：arcsinx+arxcosx=π/2(-1≤x≤1)
3.拉格朗日中值定理证明：(α-β)/cos²β≤tanα-tanβ≤(α-β)/cos²α

答案

1.f(x)=x^4+4x+k
f'(x)=4x^3+4=0---> x=-1
只有一个极值点X=-1,此为极小值点
f(-1)=k-3
若极小值大于0,则无实根
若极小值等于0,则只有实根-1
其极小值小于0,则只有两实根,1个大于-1,一个小于-1.
2.由x=cos(arccosx)=sin(π/2-arccosx)
两边取反正弦：arcsinx=π/2-arccosx
移项 arcsinx+arccosx=π/2
3.f(x)=tanx,f'(x)=(secx)^2,则由中值定理,存在a,b之间的c,有：
tana-tanb/(a-b)=f'(c)=1/(cosc)^2
tana-tanb=(a-b)/(cosc)^2
不妨设0