设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=1/6（X1+X2+…+X6），Y2=1/3（X7+X8+X9），S2=1/29i＝7（Xi-Y2）2，Z=2(Y1−Y2)S，证明统计量Z

题目

设X₁，X₂，…，X₉是来自正态总体X的简单随机样本，Y₁=

1

6

（X₁+X₂+…+X₆），Y₂=

1

3

（X₇+X₈+X₉），S²=

1

2

9

i＝7

（X_i-Y₂）²，Z=

2 (Y1−Y2)

S

，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．

答案

证明：设X～N（μ，σ²），则有E（Y₁）=E（Y₂）=μ，D（Y₁）=

σ2

6

，D（Y₂）=

σ2

3

．由于Y₁与Y₂相互独立，
    因此有E（Y₁-Y₂）=0，D（Y₁-Y₂）=

σ2

2

，所以Y₁-Y₂～N（0，

σ2

2

），
   从而U=

Y1−Y2

σ 2

～N（0，1），又由正态总体样本方差的性质，知V=

2S2

σ2

～χ²（2）
      又因Y₁-Y₂与S²相互独立，因此

U

V 2

=

2 (Y1−Y2)

S

～t（2）

（1）根据X₁，X₂，…，X₉是来自正态总体X的简单随机样本可求得Y₁，Y₂的期望与方差
（2）通过Y₁，Y₂构造出所求统计量Z，根据Z的形式证明其为t分布

本题考点：t分布的性质．

考点点评：本体考察知识点有：（1）t分布的性质以
                 （2）简单随机样本之间运算后期望和方差求法
                 （3）正态总体方差的性质
   做好本题需要对这部分知识点比较熟悉才行．