已知y=y(x)是由方程y^3-x^3+2xy=0所确定的隐函数,曲线y=y(x)有斜渐近线y=ax+b,则a,b=

题目

已知y=y(x)是由方程y^3-x^3+2xy=0所确定的隐函数,曲线y=y(x)有斜渐近线y=ax+b,则a,b=

答案

a等于当x趋向于无限大时,y/x的极限.把原方程变换成
（y/x)^3+(2/x)(y/x)-1=0
因此y/x可以看做一个系数中包含x的一元三次方程的解.当x趋于无限大,它的实数解趋于1.应该可以通过一元三次方程的公式解证明.因此a=1
确定a=1后,则b等于当x趋向于无限大时,y-x的极限.把原方程变换成
y-x=-2/(x/y+1+y/x)
当x趋向无限大时,y/x极限为1.所以b=-2/3
渐近线方程为
y=x-2/3