几何证明 （1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG=1/2（AB+BC+AC）．

题目

几何证明

（1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG=

1

2

（AB+BC+AC）．
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图1），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

答案

（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，∴∠BAF=∠BMF，在△ABF和△MBF中，∵∠AFB＝∠MFB  BF＝BF   ∠ABF＝∠MBF     ，∴△ABF≌△MBF（ASA）∴MB=AB∴AF=MF，...

（1）利用全等三角形的判定定理ASA证得△ABF≌△MBF，然后由全等三角形的对应边相等进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，由此可以证明FG为△AMN的中位线，然后利用中位线定理求得FG=

1

2

（AB+BC+AC）；
（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案．

本题考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线转化成三角形的中位线．