若函数FX满足对于（0,正无穷大）上的任意实数x,y都有F（xy）=fx+fy 且 x>1时 fx>0

题目

若函数FX满足对于（0,正无穷大）上的任意实数x,y都有F（xy）=fx+fy 且 x>1时 fx>0
证明
f(x/y)=fx-fy

答案

令x=y=1得
F（1）=F(1)+F（1）
解得F（1）=0
再令x=1/y得
F（1）=F(y)+F(1/y)=0
得出F(y)=-F(1/y)
所以F(x/y)=F(x)+F(1/y)=F(x)-F(y)