已知k＞0，函数f(x)＝x3−3x+k，g(x)＝2kx−kx2+2 （1）若对任意x1，x2∈[-1，1]都有f（x1）≥g（x2），求k的取值范围； （2）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得f

题目

已知k＞0，函数f(x)＝x3−3x+k，g(x)＝

2kx−k

x2+2

（1）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），求k的取值范围；
（2）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求k的取值范围．

答案

（1）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），当x∈[-1，1]时，f′（x）≤0，所以f（x）在[-1，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=k-2；g′（x）=−2k(x2−x−2)(x2+2)2=−2k(x−2)(x+1)(x2+2)2，当x∈[-1，1]时，g′（x）≥...

（1）对任意x₁，x₂∈[-1，1]都有f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x）_min≥g（x）_max，进而转化为函数的最值问题；
（2）存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），等价于f（x）_min＜g（x）_max，进而转化为函数的最值问题．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题为不等式恒成立问题，解决的基本思路是转化为函数最值问题处理，从而可用导数解决．本题注意分析两问间的“否定”关系．