设有m个正n边形,这m个正n边形的内角总和度数能够被8整除,求m+n的最小值.
题目
设有m个正n边形,这m个正n边形的内角总和度数能够被8整除,求m+n的最小值.
答案
由题意,这m个正n多边形的内角总和度数为m(n-2)•180=180mn-360m(5分)
因为360m能被8整除,故180mn能被8整除;
而180能被4整除,不能被8整除,则必有mn能被2整除,
故m、n中只至少有一偶数.(10分)
又m≥1,n≥3,且均为整数.
要使m+n最小,则
取m=1时,则n=4;(15分)
取m=2时,则n=3;
故m+n的最小值为5.(20分)
正三边形的内角和是180,正四边形是360,正五边形是540,正n边形是(n-2)×180(n大于3),m个的总和是m(n-2)×180能给8整除,因为180÷8=45÷2,也就是说找到m(n-2)给2整除的最小m,n就可以了(n≥3),①n=3,m=2,3+2=5;②n=4,m=1,4+1=5,最小值为5.
数的整除性;多边形内角与外角.
本题考查了多边形内角和公式和数的整除性问题,找到m(n-2)给2整除或180mn被8整除的最小m,n是解题的关键.
举一反三
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