已知经过点A(1,-3),B(0,4)的圆C与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交,它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0. (Ⅰ)求圆C的方程; (Ⅱ)若动圆M经过一定点P(3,0),且与圆C外切,

已知经过点A(1,-3),B(0,4)的圆C与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交,它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0. (Ⅰ)求圆C的方程; (Ⅱ)若动圆M经过一定点P(3,0),且与圆C外切,

题目
已知经过点A(1,-3),B(0,4)的圆C与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交,它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若动圆M经过一定点P(3,0),且与圆C外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
答案
(Ⅰ)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
∵圆C与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交
∴两圆的公共弦方程为(D+2)x+(E+4)y+F-4=0,
∵圆C经过点A(1,-3),B(0,4),公共弦平行于直线2x+y+1=0
D+2
E+4
=−2
D−3E+F+10=0
4E+F+16=0
,∴
D=6
E=0
F=−16

∴圆C的方程为x2+y2+6x-16=0,即(x+3)2+y2=25.(4分)
(Ⅱ)圆C的圆心为C(-3,0),半径r=5.
∵动圆M经过一定点P(3,0),且与圆C外切
∴|MC|-|MP|=5<|PC|=6.
∴动圆M圆心的轨迹是以C,P为焦点,实轴长为5的双曲线的右支.(7分)
设双曲线的方程为
x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)

∵c=3,a=
5
2

b2c2a2
11
4

故动圆圆心M的轨迹方程是
x2
25
4
y2
11
4
=1(x>0)
.(8分)
(Ⅰ)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,求出两圆的公共弦方程为(D+2)x+(E+4)y+F-4=0,利用圆C经过点A(1,-3),B(0,4),公共弦平行于直线2x+y+1=0,建立方程组
D+2
E+4
=−2
D−3E+F+10=0
4E+F+16=0
,从而可求圆C的方程;
(Ⅱ)圆C的圆心为C(-3,0),半径r=5.根据动圆M经过一定点P(3,0),且与圆C外切,可得|MC|-|MP|=5<|PC|=6,从而动圆M圆心的轨迹是以C,P为焦点,实轴长为5的双曲线的右支,进而可求动圆圆心M的轨迹方程.

直线和圆的方程的应用;圆的一般方程;圆与圆的位置关系及其判定.

本题重点考查轨迹方程的求解,考查待定系数法的运用,认真审题,挖掘隐含是解题的关键.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.