已知经过点A（1，-3），B（0，4）的圆C与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交，它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切，

题目

已知经过点A（1，-3），B（0，4）的圆C与圆x²+y²-2x-4y+4=0相交，它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

答案

（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆C与圆x²+y²-2x-4y+4=0相交
∴两圆的公共弦方程为（D+2）x+（E+4）y+F-4=0，
∵圆C经过点A（1，-3），B（0，4），公共弦平行于直线2x+y+1=0
∴

− D+2 E+4 ＝−2 D−3E+F+10＝0 4E+F+16＝0

，∴

D＝6 E＝0 F＝−16

∴圆C的方程为x²+y²+6x-16=0，即（x+3）²+y²=25．（4分）
（Ⅱ）圆C的圆心为C（-3，0），半径r=5．
∵动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切
∴|MC|-|MP|=5＜|PC|=6．
∴动圆M圆心的轨迹是以C，P为焦点，实轴长为5的双曲线的右支．（7分）
设双曲线的方程为

x2

a2

−

y2

b2

＝1(a＞0，b＞0)，
∵c=3，a=

5

2

∴b2＝c2−a2＝

11

4

，
故动圆圆心M的轨迹方程是

x2

25 4

−

y2

11 4

＝1(x＞0)．（8分）

（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，求出两圆的公共弦方程为（D+2）x+（E+4）y+F-4=0，利用圆C经过点A（1，-3），B（0，4），公共弦平行于直线2x+y+1=0，建立方程组

− D+2 E+4 ＝−2 D−3E+F+10＝0 4E+F+16＝0

，从而可求圆C的方程；
（Ⅱ）圆C的圆心为C（-3，0），半径r=5．根据动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切，可得|MC|-|MP|=5＜|PC|=6，从而动圆M圆心的轨迹是以C，P为焦点，实轴长为5的双曲线的右支，进而可求动圆圆心M的轨迹方程．

本题考点：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评：本题重点考查轨迹方程的求解，考查待定系数法的运用，认真审题，挖掘隐含是解题的关键．