能证明 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn =C(n→正无穷)吗?

题目

能证明 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn =C(n→正无穷)吗?

答案

C是欧拉常数.
设Xn= 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
so Xn+1-Xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)
上式令f(x)=lnx 由拉格朗日中值定理：f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*(x+1-x) (ξ∈（x,x+1）)
so Xn+1-Xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)=1/(n+1)-1/ξXn+1 (单调递减) (ξ∈（n,n+1))
由上述可知：ln(n+1)-lnn