设函数f(x)在[-a,a]上连续,在(-a,a)上可导,且f(-a)=f(a),a大于0.试证明在(-a,a）内至少存在一点···

题目

设函数f(x)在[-a,a]上连续,在(-a,a)上可导,且f(-a)=f(a),a大于0.试证明在(-a,a）内至少存在一点···
至少存在一点h,使得f'(h）=2hf（h）

答案

证明：
设F(X)=f(x)e^(-x^2),则F'(x)=[f‘(x)-2xf(x)](e^(-x^2)),
因为F（b)=F(-b),所以F'(x)在(-a,a）内至少存在一点C,使得F'(C)=0；
所以f‘(x)-2xf(x)]在(-a,a）至少存在一点h,使得f'(h）=2hf（h）