已知AB是两个n阶矩阵,满足A=1/2(B+E)及A^2=A .是证明对任意自然数k皆有 （E-B)^k=2^(k-1)* (E-B)

题目

已知AB是两个n阶矩阵,满足A=1/2(B+E)及A^2=A .是证明对任意自然数k皆有 （E-B)^k=2^(k-1)* (E-B)

答案

A=1/2(B+E)代入A^2=A有(B+E)(B+E)=2(B+E)得B²=E这样(E-B)²=E-2B+B²=2(E-B)右乘(E-B)后(E-B)³=2(E-B)(E-B)=2(E-B)²=2²(E-B)（E-B)^k=2^(k-1)* (E-B)