求证：2n+2•3n+5n-4能被25整除．

题目

求证：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．

答案

证明：2n+2•3n+5n-4=4•6n+5n-4=4•（5+1）n+5n-4=4（C0n5n+C1n5n−1+…+Cn−1n5+Cnn）+5n-4=25n+25•[4（5n−2+C1n5n−3+…+Cn−2n），因为25n，25•[4（5n−2+C1n5n−3+…+Cn−2n），均能被25整除，所以2n+2•3n+...

2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4•6ⁿ+5n-4=4•（5+1）ⁿ+5n-4，利用二项式定理展开，可提出因数25．

本题考点：二项式定理的应用．

考点点评：本题考查二项式定理的应用，考查学生的推理论证能力．