已知f(x)=ax+b/x+3−2a(a,b∈R)的图象在点(1,f(1)处的切线与直线y=3x+1平行. (1)求a与b满足的关系式; (2)若a>0且f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立,求a
题目
已知
f(x)=ax++3−2a(a,b∈R)的图象在点(1,f(1)处的切线与直线y=3x+1平行.
(1)求a与b满足的关系式;
(2)若a>0且f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)f′(x)=a-
,
由于
f(x)=ax++3−2a(a,b∈R)的图象在点(1,f(1)处的切线与直线y=3x+1平行,
则有f′(1)=a-b=3,即b=a-3,
此时,f(1)=a+a-3+3-2a=0≠4,
(2)由f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立,得
ax+
+3-2a-3lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,
令g(x)=ax+
+3-2a-3lnx,x∈[1,+∞)
则g(l)=0,g′(x)=a-
-
=
.
(i)当a>
,
≤l
则g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以g(x)≥g(l)=0,f(x)>3lnx,故f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立.
(ii)a=
时,g′(x)≥0,g(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以g(x)≥g(l)=0,f(x)>3lnx,故f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立.
(iii)当0<a<
,
>l,
则x∈(1,
)时,g′(x)<0,g(x)在[1,+∞)上是减函数,
x∈(
,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以存在x
0∈(1,
),使得g(x
0)<g(l)=0,即存在x
0∈(1,
),使得f(x
0)>3lnx
0不成立,
综上所述,所求a的取值范围为[
,+∞).
(1)根据f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y=3x+1平行建立等式关系:f'(1)=3,即可求出a与b的关系式;
(2)先构造函数g(x)=f(x)-3lnx=ax+
+3-2a-3lnx,x∈[1,+∞),利用导数研究g(x)的最小值,讨论a的范围,分别进行求解即可求出a的取值范围.
利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数恒成立问题等基础题知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,分类讨论思想,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 等差数列的三个正数和为15,并且这三个数加上2 5 13后成等比数列{Bn}中的b3 b2 b1
- Jim is ready to help others .he is very h____.
- 如图,角2加角D 等于180度,角1等于角B ,求证AB 垂直于E F
- 以珍爱生命为题写文章
- 3.75*4.8+5.2*四分之十五简便计算
- 配合物[Cu(en)2]SO4的名称是 ,中心原子是 ,配位原子是 ,配体是 ,配位数是 .
- 为什么晶体达到凝固点时未放热 达到熔点时未吸热
- 再字没有第一横读什么啊··
- 轮船从长江开到大海的时候,是沉下去一些还是浮起来一些,为什么?
- 若x—3是多项式2x-5x+m的一个因式,则m等于多少?