如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个三棱锥S-ABC，求三棱锥S-ABC的体积与剩下的几何体体积的比．

题目

如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个三棱锥S-ABC，求三棱锥S-ABC的体积与剩下的几何体体积的比．

答案

设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
即SA=a，SB=b，SC=c．（1分）
由长方体，得SA，SB，SC两两垂直，
所以VA−SBC＝

1

3

SA•S△SBC＝

1

3

a×

1

2

bc＝

1

6

abc，（5分）
于是VS−ABC＝VA−SBC＝

1

6

abc．（8分）
故剩下几何体的体积V＝abc−

1

6

abc＝

5

6

abc，（10分）
因此，V_S-ABC：V=1：5．（12分）

设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，根据长方体的几何特征，我们可得SA，SB，SC两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥S-ABC的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查的知识点是棱柱的体积公式及棱锥的体积公式，其中根据长方体的结构特征分析出SA，SB，SC两两垂直，进而求出棱锥的体积是解答本题的关键．