将函数y=3sin(2x+φ),|φ|<π2的图象向左平移π3个得到偶函数y=f(x)的图象. (1)求y=f(x)解析式; (2)求y=f(x)的最大值及单调增区间.
题目
将函数y=3sin(2x+φ),|φ|<
的图象向左平移
个得到偶函数y=f(x)的图象.
(1)求y=f(x)解析式;
(2)求y=f(x)的最大值及单调增区间.
答案
(1)将函数y=3sin(2x+φ),|φ|<
的图象向左平移
个得到函数y=3sin[2(x+
)+φ)的图象,
故偶函数y=f(x)=3sin(2x+
+φ),∴
+φ=kπ+
,k∈z,∴φ=-
,f(x)=3sin(2x+
-
)=3cos2x.
(2)由f(x)=3cos2x,可得它的最大值为3,令2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈z,求得 kπ-
≤x≤kπ,
故函数f(x)的增区间为[kπ-
,kπ],k∈z.
(1)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律、诱导公式求得f(x)=3cos2x.
(2)(2)由f(x)的解析式,可得它的最大值,令2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈z,求得x的范围,可得函数的增区间.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象.
本题主要考查诱导公式的应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的单调性,属于基础题.
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