如图所示,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,在形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm.

题目

如图所示,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,在形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm.

答案

)①如图a,当点E与点C重合时,AC⊥OE,OC=OE=6cm,所以AC与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了2cm,所求运动时间为:t=2/2=1s
②如图b,当点O运动到点C时,过点O作OF⊥AB,垂足为F．
在Rt△FOB中,∠FBO=30°,OB=12cm,则OF=6cm,
即OF等于半圆O的半径,所以AB与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了8cm,所求运动时间为：t=8/2=4s
③如图c,当点O运动到BC的中点时,AC⊥OD,OC=OD=6cm,
所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了14cm．
所求运动时间为：t=14/2=7s
④如图d,当点O运动到B点的右侧,且OB=12cm时,过点O作OQ⊥直线AB,垂足为Q．
在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,则OQ=6cm,
即OQ等于半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t=32/2=16s
因为半圆O在运动中,它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交,所以只有当t为1s,4s,7s,16s时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切．
(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时,半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图b与图c所示的两种情形．
①如图b,设OA与半圆O的交点为M,易知重叠部分是圆心角为90°,半径为6cm的扇形,所求重叠部分面积为：
S扇形EMO=1/4π×62=9π（cm2）
②如图c,设AB与半圆O的交点为P,连接OP,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则PH=BH．在Rt△OBH中,
∠OBH=30°,OB=6cm,则OH=3cm．
BH=3√3,BP=6√3
S△POB=1/2×6√3×3=9√3（cm2）
又因为∠DOP=2∠DBP=60°．
所以S扇形DOP=1/6π×62=6π（cm2）
所求重叠部分面积为：
S△POB+S扇形DOP=（9√3+6π）（cm2）