曲线y=（3/2）x²上的点到直线2x-y-3=0的最短距离

题目

曲线y=（3/2）x²上的点到直线2x-y-3=0的最短距离

答案

设曲线上的点P(x,3x²/2),由点到直线的距离公式可得
d(x)=|2x-3x²/2-3|/√(2²+1²)=|2x-3x²/2-3|/√5
由于距离d为正数,故d取得最小值时,d²同时也取得最小值
∴D(x)=d²(x)=(2x-3x²/2-3)/√5
对D(x)求导,可得
D'(x)=(2-3x)/√5
取得最小值时,有
D'(x)=(2-3x)/√5=0
可解得 x0=3/2
∴最短距离为
d(x0)=|2x-3x²/2-3|/√5
=|2*3/2-3(3/2)²/2-3|/√5
=27√5/40