已知cosα=1∕3,cos(α+β)=‐1∕3,且α,β∈(0,2/п ),则cos(α‐β)=?

题目

已知cosα=1∕3,cos(α+β)=‐1∕3,且α,β∈(0,2/п ),则cos(α‐β)=?

答案

cosα=1∕3,α∈(0,π/2 ),
则cos2α=2 cos²α-1=-7/9.
因为2α∈(0,π),所以sin2α=√(1-cos²2α)= 4√2∕9.
cos(α+β)=‐1∕3,且α+β∈(0,π),
则sin(α+β)= 2√2∕3.
则cos(α‐β)= cos[2α-(α+β)]
=cos2αcos(α+β) +sin2αsin(α+β)
=23/27.