牛顿—莱布尼兹积分 和 柯西—黎曼积分 到底有何区别?

题目

牛顿—莱布尼兹积分 和 柯西—黎曼积分 到底有何区别?
课本上一直说两者不一样,但是从定义上看两者表达的意思的却一样啊
前者是函数与x轴围成的面积,后者定义虽然很长,但是仔细想想不还是面积么?两者到底有何区别?

答案

并没有柯西—黎曼积分,只有黎曼积分.柯西把牛顿,莱布尼兹时代的定积分严格化了,但只能处理有有限个不连续点的情况.出于傅立叶级数的需要,黎曼把这个柯西的定义推广了,可以处理可数个不连续点的问题.如果单从解决面积问题的方面看,的确没有差别,但分析学不构建在几何学的基础上呀.