已知:如图 △ABC中,AD是BC边上的中线,AE是高,且AB＞AC,（1）.若AB=12,BC=10,AC=8,求DE.

题目

已知:如图 △ABC中,AD是BC边上的中线,AE是高,且AB＞AC,（1）.若AB=12,BC=10,AC=8,求DE.
（2）.求证：AB^2-AC^2=2BC*DE.
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答案

（1）因D是BC的中点,故BD=DC=5
RtΔABE中,由勾股定理得：AE^2=12^2-(5+DE)^2；
RtΔAEC中,同理有：AE^2=8^2-(5-DE)^2；
所以有：12^2-(5+DE)^2=8^2-(5-DE)^2
解得：DE=4.
（2）仍在两个直角三角形中用勾股定理得：
AB^2=AE^2+BE^2
AC^2=AE^2+EC^2
二式相减得：AB^2-AC^2=BE^2-EC^2;
又因为BE=(1/2)BC+DE
EC=(1/2)BC-DE
代入上式整理得：AB^2-AC^2=2BC*DE