已知函数f (x)=2x3-3(2+a2)x2+6(1+a2)x+1(a∈R). (Ⅰ)若函数f (x)在R上单调,求a的值; (Ⅱ)若函数f (x)在区间[0,2]上的最大值是5,求a的取值范围.

已知函数f (x)=2x3-3(2+a2)x2+6(1+a2)x+1(a∈R). (Ⅰ)若函数f (x)在R上单调,求a的值; (Ⅱ)若函数f (x)在区间[0,2]上的最大值是5,求a的取值范围.

题目
已知函数f (x)=2x3-3(2+a2)x2+6(1+a2)x+1(a∈R).
(Ⅰ)若函数f (x)在R上单调,求a的值;
(Ⅱ)若函数f (x)在区间[0,2]上的最大值是5,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)f′(x)=6x2-6(2+a2)x+6(1+a2)=6(x-1)(x-1-a2),因为函数f(x)在R上单调,所以1=1+a2,即a=0.(6分)(Ⅱ)因为1≤1+a2,所以{f(x)}max={f(1),f(2)}max={3a2+3,5}max=5,即3a2+3≤5,解此...
(I)先求函数的导数,再由函数f (x)在R上单调知其导数恒为非负值,从而方程(x-1)(x-1-a2)=0的根相等,即可求得a的值;
(II)由(I)知函数f (x)在区间[0,1]上是增函数,在区间[1,1+a2]上是减函数,在区间[1+a2,2]上是增函数,故函数f (x)在区间[0,2]上的最大值是f(1),f(2)中的较大者,从而得到一个不等式求得a的取值范围即可.

利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

本题主要考查函数的单调性、最值等基本性质、导数的应用等基础知识,同时考查抽象概括能力和运算求解能力.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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