若关于x的不等式x2+1/2x-(1/2)n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]恒成立,则实常数λ的取值范围是 _ .
题目
若关于x的不等式
x2+x-()n≥0对任意n∈N
*在x∈(-∞,λ]恒成立,则实常数λ的取值范围是 ___ .
答案
关于x的不等式
x2+x-()n≥0对任意n∈N
*在x∈(-∞,λ]恒成立,
等价于
x2+x≥
()nmax对任意n∈N
*在x∈(-∞,λ]恒成立,
∵
()nmax=
,
∴
x2+x≥对 x∈(-∞,λ]恒成立.
设
y=x2+x,它的图象是开口向上,对称轴为x=-
的抛物线,
∴当x≤-
时,左边是单调减的,所以要使不等式恒成立,则λ
2+
λ≥,
解得λ≤-1,或
λ≥(舍)
当x>-
,左边的最小值就是在x=-
时取到,
达到最小值时,
x2+x=
(-)2+•(-) =-,不满足不等式.
因此λ的范围就是 λ≤-1.
故答案为:(-∞,-1].
关于x的不等式
x2+x−()n≥0对任意n∈N
*在x∈(-∞,λ]恒成立,等价于
x2+x≥
()nmax 对任意n∈N
*在x∈(-∞,λ]恒成立,由
()nmax=
,知
x2+x≥对 x∈(-∞,λ]恒成立.由此能求出λ的范围.
函数恒成立问题.
本题考查函数恒成立问题的应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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