在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1与x轴交于A,B两点,点F(t,0)为一定点.

题目

在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1与x轴交于A,B两点,点F(t,0)为一定点.
1若双曲线x2/a2－y2/b2=1的一条渐进线的倾斜角为π/3,右焦点为F,且该双曲线的两条准线恰与圆O都相切,求实数t的值
2.当t=1/2时,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,记l1,l2被圆O截得的弦长分别为d1,d2,求1/（d1^2）+1/（d2^2）的最小值

答案

1.t=c b/a=根3 双曲线准线x=a^2/c 所以a^2/c=1 c^2=a^2+b^2 可得c=t=4
2.过圆心向两条直线作垂线,垂足为c、d,所以ocfd为矩形,对角线相等,即of=cd=1/2,可得
1-oc^2=(d1/2)^2 1-od^2=(d2/2)^2 又因为oc^2+od^2=cf^2+df^2=1/4 将前两式相加得
2-1/4=1/4(d1^2+d2^2) 所以d1^2+d2^2=7 将此式与题中所求式相乘再除以7,并展开,利用均值不等式可求出最小值为4/7