已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d,且a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-bd-cd=0,那么四边形ABCD一定是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
题目
已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d,且a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-bd-cd=0,那么四边形ABCD一定是( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 梯形
答案
由a2+ab-ac-bc=0,可知(a+b)(a-c)=0,则a-c=0,即a=c;
由b2+bc-bd-cd=0,可知(b+c)(b-d)=0;则b-d=0,即b=d.
(其中a,b,c,d都是正数,a+b、b+c一定不等于0)
由a=c;b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等,则四边形ABCD一定是平行四边形.
故选A.
由a2+ab-ac-bc=0分解因式,可得到(a+b)(a-c)=0,得a=c,再由b2+bc-bd-cd=0,可得到b=d,则四边形的两组对边分别相等,所以四边形ABCD一定是平行四边形.
平行四边形的判定;因式分解的应用.
本题考查了平行四边形的判定,解决本题的关键是应用因式分解的知识得到四边形对边的关系.
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