设数项级数a0+a1+a2+...条件收敛,试证明幂级数a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...的收敛半径r=1.

题目

设数项级数a0+a1+a2+...条件收敛,试证明幂级数a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...的收敛半径r=1.
高等教育出版社出版的《高等数学 上册》（殷锡铭主编,2009年8月第一版）习题8.2（B）第5题

答案

首先x=1时幂级数收敛 故收敛半径至少是1（阿贝尔定理,幂级数应该讲的）
其次若收敛半径大于1 则必存在某点x=x0>1处收敛且绝对收敛（也是上述定理）不妨设绝对收敛于A
这样有A>a0的绝对值加a1的绝对值+...（一直加下去）
而数项级数a0+a1+a2+...条件收敛 这就是说 a0的绝对值加a1的绝对值+...（一直加下去）趋于正无穷
矛盾!
因此收敛半径是1