已知a,b,c分别为三角形ABC中角A角B角C所对的边,且A,B,C成等数列,b=根号3,求三角形ABC周长的最大值

题目

已知a,b,c分别为三角形ABC中角A角B角C所对的边,且A,B,C成等数列,b=根号3,求三角形ABC周长的最大值

答案

A＋B＋C=180°,且A、B、C成等差数列,则：
B=60°
因：b=√3
则：b²=a²＋c²－2accosB=a²＋c²－ac=(a＋c)²－3ac
(a＋c)²－ac=3
又：a＋c≥2√(ac)
则：ac≤(1/4)(a＋c)²
得：
(a＋c)²－3≤(3/4)(a＋c)²
(1/4)(a＋c)²≤3
a＋c≤2√3
即：a＋b＋c≤3√3
所以三角形周长的最大值是3√3