有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0，设x=||a|b+c+|b|a+c+|c|a+b|，试求x19-99x+2009的值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0，设x=|

|a|

b+c

+

|b|

a+c

+

|c|

a+b

|，试求x¹⁹-99x+2009的值．

答案

∵有理数a，b，c均不为0，且a+b+c=0，
∴a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负，
∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），
即

a

b+c

=-1，

b

c+a

=-1，

c

a+b

=-1，
∴

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

中必有两个同号，另一个符号与其相反，
∴

|a|

b+c

，

|b|

c+a

，

|c|

a+b

的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，
∴x=1，
∴原式=1-99+2009=1911．