已知关于的一元二次方程．（1）求证：当取不等于l的实数时，此方程总有两个实数根．（2）若是此方程的两根，并且，直线：交轴于点A，交轴于点B，坐标原点O关于直线的

题型：不详难度：来源：

已知关于的一元二次方程．
（1）求证：当取不等于l的实数时，此方程总有两个实数根．
（2）若是此方程的两根，并且，直线：交轴于点A，交轴于点B，坐标原点O关于直线的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式．
（3）在（2）的成立的条件下，将直线绕点A逆时针旋转角，得到直线′，′交轴于点P，过点P作轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求角的值．

答案

（1）证明
∵为关于的一元二次方程
∴,即≠1
∴△＝
∴△≥0
∴当取不等于1的实数时,此方程总有两个实数根．
∴,
（2）∵ 
∴
又∵、是方程的两根
∴
∵
∴
∴直线的解析式为
∴直线与轴交点A（－3,0）与轴交点B（0,3）
∴△ABO为等腰直角三角形
∴坐标原点O关于直线的对称点O′的坐标为（－3,3）
∴反比例函数的解析式为
（3）解:设点P的坐标为（0,P）,延长PQ和AO′交于点G
∵PQ∥轴,与反比例函数图象交于点Q
∴四边形AOPG为矩形
∴Q的坐标为（,P）
∴G（－3,P）
当0°＜＜45°,即P＞3时
∵GP＝3，GQ＝3，GO′＝P－3，GA＝P
∴S_{四边形APQO’}＝S_△APG－S_△GQO’
＝×GA×GP－×GQ×GO’
＝×P×3－（3）×（P－3）
＝
∴ 
∴P＝
经检验,P＝ 符合题意
∴P（0，）
∴AP=6
点A关于轴的对称点A′（3，0），连结A′P，
易得AP=PA′=6，又∵AA′=6
∴AA′=AP=A′P
∴∠PAO＝60°
∵∠BAO＝45°
∴＝∠PAO －∠BAO ＝60°－45°＝15°
当45°≤＜90°，即P＜－3时，
可类似地求得P=，这与P＜－3矛盾，所以此时点P不存在
∴旋转角＝15°

解析

（1）由方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0为一元二次方程，所以a≠0；要证明方程总有两个实数根，即证明当a取不等于1的实数时，△＞0，而△=（2-3a）²-4×（a-1）×3=（3a-4）²，即可得到△≥0
（2）先利用求根公式求出两根3，，再代入，可得到a=2，则m=1，n=3，直线l：y=x+3，这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数y="k/x" ，即可确定反比例函数y="k/x" 的解析式；
（3）延长PQ，AO′交于点G，设P（0，p），则Q（-9/p ，p）．四边形APQO"的面积=
S_△APG-S_△QPO′=，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，这样就可求出θ．