设ha、hb、hc是锐角△ABC三边上的高,求证:12<ha+hb+hca+b+c<1.

设ha、hb、hc是锐角△ABC三边上的高,求证:12<ha+hb+hca+b+c<1.

题型:不详难度:来源:
设ha、hb、hc是锐角△ABC三边上的高,求证:
1
2
ha+hb+hc
a+b+c
<1
答案
如图,在Rt△ADC中,由于AC>AD,故b>ha
同理可证c>hb,a>hc
∴ha+hb+hc<a+b+c,即
ha+hb+hc
a+b+c
<1①
设△ABC的垂心为H点,
由于HA+HB>AB,HB+HC>BC,HC+HA>AC,即HA+HB+HC>
1
2
(a+b+c)

从而ha+hb+hc>HA+HB+HC>
1
2
(a+b+c)
,即
ha+hb+hc
a+b+c
1
2

由①、②得
1
2
ha+hb+hc
a+b+c
<1


魔方格
举一反三
已知a、b、x、y均大于0,x2+y2=1,求证:


a2x2+b2y2
+


a2y2+b2x2
≥a+b
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平面上有n个点,其中任意三点构成一个直角三角形,求n的最大值.
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设a,b,c为锐角△ABC的三边长,为ha,hb,hc对应边上的高,则U=
ha+hb+hc
a+b+c
的取值范围是______.
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选择适当的不等号填空:(1)x2______0; (2)若x≠y,则3x______3y.
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某天的气温不高于25℃,设这天的气温为t℃笔,那么t与25之间的关系是______.
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