设ha、hb、hc是锐角△ABC三边上的高，求证：12＜ha+hb+hca+b+c＜1．

题型：不详难度：来源：

设h_a、h_b、h_c是锐角△ABC三边上的高，求证：

1

2

＜

ha+hb+hc

a+b+c

＜1．

答案

如图，在Rt△ADC中，由于AC＞AD，故b＞h_a，
同理可证c＞h_b，a＞h_c
∴h_a+h_b+h_c＜a+b+c，即

ha+hb+hc

a+b+c

＜1①
设△ABC的垂心为H点，
由于HA+HB＞AB，HB+HC＞BC，HC+HA＞AC，即HA+HB+HC＞

1

2

(a+b+c)．
从而ha+hb+hc＞HA+HB+HC＞

1

2

(a+b+c)，即

ha+hb+hc

a+b+c

＞

1

2

②
由①、②得

1

2

＜

ha+hb+hc

a+b+c

＜1．