解:(1)MN∥DE, ∴, 又∵AD=AB,AE=AC, ∴, 又∵∠BAM=∠CAN, ∴△ABM∽△ACN, ∴∠B=∠NCA, ∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°, ∴∠MCN=90°,即△MNC是直角三角形; (2)在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,BC=4, ∴AC=2,AB=2, ∴△ABM∽△ACN, ∴, ∴, ∴; (3)①直线AD与⊙N相切时,则AN=NC, ∵△ABM∽△ACN, ∴, ∴AM=MB, ∵∠B=30°, ∴∠α=30°,∠AMC=60°, 又∵∠ACB=90°-30°=60°, ∴△AMC是等边三角形, ∴AM=MC=BM=2, ∴, 又∵, ∴; ②当时, ∴则有,解得x=1或x=3; (i)当x=1时,在Rt△MNC中,MC=4-x=3, ∴, 在Rt△AMN中,∠AMN=30°, ∴, ∵,即AN>NC, ∴直线AD与⊙相离; (ii)当x=3时,同理可求出,NC=,MC=1,MN=2,AN=1, ∴NC>AN, ∴直线AD与⊙相交。 |