(2013年浙江义乌10分)小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ABC,△DEF均为等腰直角三角形,各顶点坐标分别为A(1,1),B(2,2),C(2,
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(2013年浙江义乌10分)小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ABC,△DEF均为等腰直角三角形,各顶点坐标分别为A(1,1),B(2,2),C(2,
题型:不详
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(2013年浙江义乌10分)小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ABC,△DEF均为等腰直角三角形,各顶点坐标分别为A(1,1),B(2,2),C(2,1),D(
,0),E(
, 0),F(
,
).
(1)他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45
0
得到△A
1
B
1
C.请你写出点A
1
,B
1
的坐标,并判断A
1
C和DF的位置关系;
(2)他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45
0
,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线
上.请你求出符合条件的抛物线解析式;
(3)他们继续探究,发现将△ABC绕某个点旋转45,若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线
上,则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点P的所有坐标.
答案
解:(1)
。
A
1
C和DF的位置关系是平行。
(2)∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF,
∴①当抛物线经过点D、E时,根据题意可得:
,解得
。
∴
。
②当抛物线经过点D、F时,根据题意可得:
,解得
。
∴
。
③当抛物线经过点E、F时,根据题意可得:
,解得
。
∴
。
(3)在旋转过程中,可能有以下情形:
①顺时针旋转45°,点A、B落在抛物线上,如答图1所示,
易求得点P坐标为(0,
)。
②顺时针旋转45°,点B、C落在抛物线上,如答图2所示,
设点B′,C′的横坐标分别为x
1
,x
2
,
易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行,∴设直线B′C′的解析式为y=x+b。
联立y=x
2
与y=x+b得:x
2
=x+b,即
,∴
。
∵B′C′=1,∴根据题意易得:
,∴
,即
。
∴
,解得
。
∴
,解得
x或
。
∵点C′的横坐标较小,∴
。
当
时,
。
∴P(
,
)。
③顺时针旋转45°,点C、A落在抛物线上,如答图3所示,
设点C′,A′的横坐标分别为x
1
,x
2
.
易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行,∴设直线C′A′的解析式为
。
联立y=x
2
与
得:
,即
,∴
。
∵C′A′=1,∴根据题意易得:
,∴
,即
。
∴
,解得
。
∴
,解得
x或
。
∵点C′的横坐标较大,∴
。
当
时,
。
∴P(
,
)。
④逆时针旋转45°,点A、B落在抛物线上.
因为逆时针旋转45°后,直线A′B′与y轴平行,因为与抛物线最多只能有一个交点,故此种情形不存在。
⑤逆时针旋转45°,点B、C落在抛物线上,如答图4所示,
与③同理,可求得:P(
,
)。
⑥逆时针旋转45°,点C、A落在抛物线上,如答图5所示,
与②同理,可求得:P(
,
)。
综上所述,点P的坐标为:(0,
),(
,
),P(
,
,(
,
)。
解析
(1)由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解。
(2)首先明确△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF,然后分三种情况进行讨论,分别计算求解。
(3)旋转方向有顺时针、逆时针两种可能,落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能,因此共有六种可能的情形,需要分类讨论,避免漏解。
举一反三
如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.
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二次函数y=ax
2
+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是
A.a<0,b<0,c>0,b
2
﹣4ac>0
B.a>0,b<0,c>0,b
2
﹣4ac<0
C.a<0,b>0,c<0,b
2
﹣4ac>0
D.a<0,b>0,c>0,b
2
﹣4ac>0
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已知抛物线y
1
=ax
2
+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(1,4),它与直线y
2
=x+1的一个交点的横坐标为2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在给出的坐标系中画出抛物线y
1
=ax
2
+bx+c(a≠0)及直线y
2
=x+1的图象,并根据图象,直接写出使得y
1
≥y
2
的x的取值范围;
(3)设抛物线与x轴的右边交点为A,过点A作x轴的垂线,交直线y
2
=x+1于点B,点P在抛物线上,当S
△
PAB
≤6时,求点P的横坐标x的取值范围.
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如图所示,二次函数y=ax
2
+bx+c的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1)b
2
﹣
4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0,其中错误的有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE是平行四边形,求点D的坐标.
(3)P是抛物线上第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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