如图，在平面直角坐标系中，⊙O1的直径OA在x轴上，O1A=2，直线OB交⊙O1于点B，∠BOA=30°，P为经过O、B、A三点的抛物线的顶点。（1）求点P的坐

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，⊙O₁的直径OA在x轴上，O₁A=2，直线OB交⊙O₁于点B，∠BOA=30°，P为经过O、B、A三点的抛物线的顶点。
（1）求点P的坐标；
（2）求证：PB是⊙O₁的切线

答案

解：（1）如图，连接O₁B，过点B作 BC⊥x轴于点C，
∵∠BOA=30°，半径O₁A=2，
∴∠BO₁C=60°，O₁C=1，BC=，
∴点B坐标为（3，），
设过O（0，0）、A（4，0）
两点抛物线解析式为y=ax（x-4），
∵点B（3，）在抛物线上，
∴=a×3×（3-4）
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x，
∴顶点P的坐标为（2，）；
（2）设过P（2，）、B（3，）两点直线的的解析式为y=kx+b，
则，解得
∴直线的的解析式为y=-x+2
令y=0，则x=6，
∴直线PB与x轴的交点坐标为D（6，0），
∴OD=6，CD=3，O₁D=3+1=4
∵OB=2
∴BD=2 
∴O₁B²+BD²=2²+（2）²=16=4²=O₁D2
∴O₁B²+BD²=O₁D²
∴O₁B⊥BD 
即PB是⊙O₁的切线。