如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A

如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A

题型:湖北省中考真题难度:来源:
如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
(2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≦3)时,△AOE与△ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.
答案
解:由题意,设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1).
将E(0,3)代入上式,解得:a=﹣1.∴y=﹣x2+2x+3.则点B(1,4).
(2)证明:如图1,过点B作BM⊥y于点M,则M(0,4).
在Rt△AOE中,OA=OE=3,
∴∠1=∠2=45°,AE==3
在Rt△EMB中,EM=OM﹣OE=1=BM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,BE==
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°.
∵AB是△ABE外接圆的直径.在Rt△ABE中,tan∠BAE===tan∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE.
在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,
∴∠CBE+∠3=90°.∴∠CBA=90°,即CB⊥AB.
∴CB是△ABE外接圆的切线.
(3)解:Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE=,sin∠BAE=,cos∠BAE=
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则△DEP必为直角三角形;
①DE为斜边时,P1在x轴上,此时P1与O重合;由D(﹣1,0)、E(0,3),得OD=1、OE=3,
即tan∠DEO==tan∠BAE,即∠DEO=∠BAE满足△DEO∽△BAE的条件,
因此 O点是符合条件的P1点,坐标为(0,0).
②DE为短直角边时,P2在x轴上;若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,
则∠DEP2=∠AEB=90°,sin∠DP2E=sin∠BAE=
而DE==,则DP2=DE×sin∠DP2E=×=10,OP2=DP2﹣OD=9
即:P2(9,0);
③DE为长直角边时,点P3在y轴上;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则∠EDP3=∠AEB=90°,cos∠DEP3=cos∠BAE=
则EP3=DE×cos∠DEP3=×=,OP3=EP3﹣OE=
综上,得:P1(0,0),P2(9,0),P3(0,﹣).
(4)解:设直线AB的解析式为y=kx+b.将A(3,0),B(1,4)代入,得解得
∴y=﹣2x+6.过点E作射线EF∥x轴交AB于点F,
当y=3时,得x=,∴F(,3).
情况一:如图2,当0<t≦时,
设△AOE平移到△DNM的位置,MD交AB于点H,MN交AE于点G.则ON=AD=t,过点H作LK⊥x轴于点K,交EF于点L.由△AHD∽△FHM,得,即
解得HK=2t.∴S=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣(3﹣t)2t×2t=﹣t2+3t.
情况二:如图3,当<t≦3时,
设△AOE平移到△PQR的位置,PQ交AB于点I,交AE于点V.由△IQA∽△IPF,得
,解得IQ=2(3﹣t).
∴S=S△IQA﹣S△VQA=×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣(3﹣t)×2=(3﹣t)2=t2﹣3t+
综上所述:s=
举一反三
如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=﹣(t﹣19)2+8(0≦t≦40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
题型:湖北省中考真题难度:| 查看答案
如图1,点A为抛物线C1:y=x2﹣2的顶点,点B的坐标为(1,0)直线AB交抛物线C1于另一点C
(1)求点C的坐标;
(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y轴的直线x=a交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:DE=4:3,求a的值;
(3)如图2,将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为点P,交x轴于点M,交射线BC于点N.NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值.
题型:湖北省中考真题难度:| 查看答案
综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B,D两点的坐标;
(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
题型:山西省中考真题难度:| 查看答案
企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间满足的函数关系如下表:
7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为.其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用:(元)与月份x之间满足函数关系式:,该企业自身处理每吨污水的费用:(元)与月份x之间满足函数关系式:;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.
(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出与x之间的函数关系式;
(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用;
(3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a﹣30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元,请计算出a的整数值.
(参考数据:≈15.2,≈20.5,≈28.4)
题型:重庆市中考真题难度:| 查看答案
如图1,已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
题型:浙江省中考真题难度:| 查看答案
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