如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；（1）当点P在线

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；
（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）证明：∵四边形OABC为矩形
∴∠OAP=∠QBP=90°，
∵∠OPQ=90°，
∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，
∴，
∴OA·BQ=AP·BP；（2）由（1）知OA·BQ=AP·BP
∴3×BQ=m（4-m），
∴，
∴CQ=3-，
即L==，
∴当m=2时，L（最小）=；（3）∵∠OPQ=90°，
∴要使△POQ为等腰三角形，则PO=PQ，
当点P在线段AB上时，如图（1），
△AOP≌△BPQ，
∴PB=AO=3，
∴AP=4-3=1，
∴P₁（1，3），
当点P在线段AB的延长线上时，如图（2）
此时△QBP≌△PAO，
∴PB=AO=3，
∴AP=4+3=7，
∴P₂（7，3），
当点P在线段AB的反向延长线上时，如图（3）
此时∵PB＞AB＞AO，
∴△PQB不可能与△OPA全等，
即PQ不可能与PO相等，此时点P不存在，
综上所述，知存在P₁（1，3），P₂（7，3）。