如图，已知抛物线经过原点O与x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，已知抛物线经过原点O与x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E。
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE，若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上，
∴m=3，
设y=a（x-2）²+h，
∵点B（-2，m）、O（0，0）在抛物线上，
∴a=，h=-1，
∴y=（x-2）²-1；（2）证明：∵直线y=-2x-1与x=2的交点E（2，-5）且C（2，0），
∴CE=5，
∵B（-2，3），
∴BC=5，
∴BC=CE，
∵D（0，-1），
∴DE=，
BD=，
∴DE=BD，
∴D是BE的中点；（3）存在。要使得PB=PE，则点P应该在线段BE的垂直平分线上，由（2）知CD是线段BE的垂直平分线，所以作直线CD交抛物线于点P₁、P₂，
设过点C、D的直线为y=kx+b，
∴，∴，
直线CD的解析式为：，
点P₁、P₂为直线CD与抛物线的两个交点，
∴，
∴能使得PB=PE。