解:(1)∵四边形OABC是矩形,∴∠AOC=∠OAB=90°。 ∵OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠DOQ=45°。 ∴在Rt△AOD中,∠ADO=45°。∴AO=AD=2,OD=2。 ∵点P的速度为每秒个单位长度,∴t=(秒)。 (2)要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°, 如图,作PG⊥OC于点G,在Rt△POG中,
∵∠POQ=45°,∴∠OPG=45°。 ∵OP=t,∴OG=PG=t。∴点P(t,t)。 又∵Q(2t,0),B(6,2), 根据勾股定理可得: 。 ①若∠PQB=90°,则有PQ2+BQ2=PB2,即: , 整理得:4t2﹣8t=0,解得:t1=0(舍去),t2=2,∴t=2。 ②若∠PBQ=90°,则有PB2+QB2=PQ2,即: , 整理得:t2﹣10t+20=0,解得:。 ∴当t=2或或时,△PQB为直角三角形。 (3)存在这样的t值。理由如下: 将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,则旋转中心为PQ中点,此时四边形PBQB′为平行四边形。 ∵PO=PQ,由P(t,t),Q(2t,0),知旋转中心坐标可表示为(t, t)。 ∵点B坐标为(6,2),∴点B′的坐标为(3t﹣6,t﹣2)。 代入,得:2t2﹣13t+18=0,解得:t1=,t2=2。 ∴存在t=或t=2,将△PQB绕某点旋转180°后,三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上。 (1)首先根据矩形的性质求出DO的长,进而得出t的值。 (2)要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°,进而利用勾股定理分别分析得出,再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论,求出符合题意的t值即可。 (3)存在这样的t值,若将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,则旋转中心为PQ中点,此时四边形PBQB′为平行四边形,根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值。 |