如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE. 求证：（1）ED=DA；          

题型：上海期末题难度：来源：

如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE.
求证：（1）ED=DA；
           （2）∠EBA=∠EAB ；
           （3）BE²=AD·AC

答案

证明:（1）∵CE⊥BD ∴∠CED=90°
                 又 ∠BDC=60°∴∠ECD=30°
               ∴CD=2ED ∵CD=2DA ∴ED=DA；
（2） ∵ED=DA ∴∠DEA=∠DAE
           ∵∠EDC=60° ∴∠EAD=∠DEA=30°
            ∵∠BAD=45° ∴∠EAB=15°
          又∠BDC=∠DBA+∠BAD ∴∠DBA=15° ∴∠EAB=∠EBA；
 （3）∵∠EAB=∠EBA
         ∴BE=AE
        ∵∠AED=∠ACE
        ∴△AED∽△ACE
        ∴     ∴AE²=AD·AC 即BE²=AD·AC