如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,以AD为直径的半圆D与BC相切。(1)求证:OB⊥OC;(2)若AD=12,∠BCD=60°,⊙O1与半⊙
题型:四川省中考真题难度:来源:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,以AD为直径的半圆D与BC相切。 (1)求证:OB⊥OC; (2)若AD=12,∠BCD=60°,⊙O1与半⊙O外切,并与BC、CD相切,求⊙O1的面积。 |
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答案
解:(1)∵AB,BC,CD均与半圆O相切, ∴∠ABO=∠CBO,∠DCD=∠BCO, 又AB∥CD, ∴∠ABC+∠BCD=180°, 即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°, ∴2∠CBO+2∠BCO=180°, 于是∠CBO+∠BCO=90°, ∴∠BOC=180°-(∠CBO+∠BCO)=180°-90°=90°, 即OB⊥OC; (2)设CD切⊙O1于点M,连接O1M,则O1M⊥CD, 设⊙O1的半径为r, ∵∠BCD=60°, 且由(1)知 ∠BCO=∠O1CM, ∴∠O1CM=30°, 在Rt△O1CM中,CO1=2O1M=2r, 在Rt△OCD中,OC=2OD=AD=12, ∵⊙O1与半圆D外切, ∴OO1=6+r, 于是,由OO1+O1C=OC,有6+r+2r=12, 解得r=2,因此⊙O1的面积为4π。 |
举一反三
一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示,它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成,∠OCD=25°,外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹,其中一块的形状是四边形EFGH,测得FG∥EH,GH=2.6m,∠FGB=65°。(1)求证:GF⊥OC; (2)求EF的长(结果精确到0.1m)。(参考数据:sin25°=cos65°≈0.42,cos25°=sin65°≈0.91) |
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当下图中的∠1和∠2满足( )时,能使 OA⊥OB(只需填上一个条件即可)。 |
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在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,对角线AC、BD相交于点O,下列条件中,不能判断对角线互相垂直的是 |
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A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.∠2=∠3 D.OB2+OC2=BC2 |
如图,直线l1与l2相交于点O,OM⊥l1,若∠α=44°,则∠β= |
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A.56° B.46° C.45° D.44° |
(1)把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,连接BE,AD,AD的延长线交BE于点F。求证:AF⊥BE。 |
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(2)把两个含有30°角的直角三角板如图2放置,点D在BC上,连接BE,AD,AD的延长线交BE于点F。问AF与BE是否垂直?并说明理由。 |
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