在四边形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=a,DC=b,BC=a+b,且a≤b,取AD的中点P,连接PB、PC。
(1)试判断三角形PBC的形状;
(2)在线段BC上,是否存在点M,使AM⊥MD,若存在,请求出BM的长;若不存在,请说明理由。
解:(1)在四边形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,
∴AB∥DC.又AB=a,DC=b,且a≤b,
∴四边形ABCD为直角梯形(或矩形),
过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,
∴PQ∥AB,
又点P是AD的中点,
∴点Q是BC的中点,
又PQ=(AB+CD)=(a+b)=BC,
∴PQ=BQ=QC,
∴△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形,
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°,PB=PC,
即△PBC是等腰直角三角形;
(2)存在点M,使AM⊥MD,
以AD为直径,P为圆心作圆P,
当a=b时,四边形ABCD为矩形,PA=PD=PQ,
圆P与BC相切于点Q,此时,M点与Q点重合,
即存在点M,使得AM⊥MD,
此时BM=(a+b);
当a<b时,四边形ABCD为直角梯形,
AD>BC,PA=PD>PQ,圆心P到BC的距离PQ小于圆P的半径,圆P与BC相交,BC上存在两点M1,M2,使AM⊥MD,
过点A作AE⊥DC,在Rt△AED中,AE=a+b,DE=b-a,
连接PM1,PM2,则,
在直角三角形PQM1中,,
∴BM1=BQ-M1Q=a,
同理可得:BM2=BQ+M2Q=b,
综上所述,在线段BC上存在点M,使AM⊥MD,
当a=b时,有一点M,BM=;
当a<b时,有两点M1,M2,BM1=a,BM2=b。
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