如图在ΔABC中AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F。（1）求证：AE=CF；（提示：添辅助

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如图在ΔABC中AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F。

（1）求证：AE=CF；（提示：添辅助线）
（2）是否还有其他结论，不要求证明（至少2个）。

答案

解：（1）连接AP，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC的中点，
∴∠BAP=∠CAP=∠ACB=45°，CP=AP，而∠EPF=90°，∠APC=90°，
∴∠APE=∠FPC，
∴△APE≌△CFP
∴AE=CF。
（2）BE=AF，EP=PF等等。

举一反三

在面积为

的等边△ABC中，AD是BC边上的高，E、F 是AD边上的任意两点，则阴影部分的面积是

[ ]

D.4

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如图，已知A，F，C，D四点在一条直线上，AF=CD，∠D=∠A，且AB=DE，请将下面说明EF=CB的过程和理由补充完整。

解：∵AF=CD（）
∴AF+FC=CD+_________
即AC=DF
在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（）
∴EF=CB（）。

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如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，并使点A、C、E三点在同一条直线上，因此只要测得ED的长就知道AB的长。请说明这样测量正确性的理由。

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如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，B、C、G三点在一条直线上，且边长为2和3，在BG上截取GP=2，连结AP、PF。

（1）观察猜想AP与PF之间的大小关系，并说明理由。
（2）图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过程；若不存在，请说明理由；
（3）若把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积。

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（1）如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请判断写出FE与FD之间的数量关系。
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（1）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由。
（请参考（1）中全等三角形的方法）

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